Die Black-Scho­les-Mer­ton-Glei­chung (BSM) ist eines der grund­le­gen­den Model­le der Finanz­ma­the­ma­tik. Sie beschreibt, wie sich der fai­re Preis einer euro­päi­schen Opti­on aus dem Preis des Basis­werts, der Zeit, der Vola­ti­li­tät und dem risi­ko­frei­en Zins­satz ablei­ten lässt.

Die eigent­li­che Black-Scho­les-Mer­ton-Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung lau­tet:
$$\frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV=0$$

Dabei ist:

• $V(S,t)$: Wert der Opti­on
• $S$: aktu­el­ler Preis des Basis­werts, z. B. einer Aktie
• $t$: Zeit
• $\sigma$: Vola­ti­li­tät des Basis­werts
• $r$: risi­ko­frei­er Zins­satz
• $\frac{\partial V}{\partial S}$: Del­ta der Opti­on
• $\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$: Gam­ma der Opti­on

Für einen euro­päi­schen Call ergibt sich dar­aus die bekann­te geschlos­se­ne Black-Scho­les-For­mel:
$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$$

mit$$d_1= \frac{\ln(S_0/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T} {\sigma\sqrt{T}}$$

und$$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}.$$

Dabei sind $S_0$ der heu­ti­ge Akti­en­kurs, $K$ der Strike, $T$ die Rest­lauf­zeit und $N(\cdot)$ die Ver­tei­lungs­funk­ti­on der Stan­dard­nor­mal­ver­tei­lung.

Für einen euro­päi­schen Put gilt ent­spre­chend:
$$P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1).$$

Die zen­tra­le Idee

Der ent­schei­den­de Gedan­ke von Black, Scho­les und Mer­ton ist Del­ta-Hedging. Man kom­bi­niert die Opti­on mit einer bestimm­ten Men­ge des Basis­werts so, dass das Port­fo­lio kurz­fris­tig kein Akti­en­kurs­ri­si­ko mehr besitzt. Ein sol­ches risi­ko­lo­ses Port­fo­lio muss dann — unter den Modell­an­nah­men — die risi­ko­freie Ren­di­te $r$ erwirt­schaf­ten.

Dadurch ver­schwin­det inter­es­san­ter­wei­se die tat­säch­lich erwar­te­te Akti­en­ren­di­te $\mu$ aus der Opti­ons­preis­for­mel. Der Opti­ons­preis wird statt­des­sen unter einer soge­nann­ten risi­ko­neu­tra­len Bewer­tung bestimmt.

Ein stark ver­ein­fach­tes Bei­spiel: Eine Aktie kos­tet heu­te $100€$, ein Call hat einen Strike von $100€$, läuft noch ein Jahr und die erwar­te­te Vola­ti­li­tät beträgt $20\%$. Bei einem risi­ko­frei­en Zins von etwa $5\%$ lie­fert das Black-Scho­les-Modell einen theo­re­ti­schen Call­preis von unge­fähr$$C \approx 10{,}45€.$$

Wich­tig ist aller­dings: Das Modell nimmt unter ande­rem kon­ti­nu­ier­li­chen Han­del, kon­stan­te Vola­ti­li­tät und Zin­sen sowie eine log­nor­mal ver­teil­te Akti­en­kurs­ent­wick­lung an. In rea­len Märk­ten sind die­se Vor­aus­set­zun­gen nur nähe­rungs­wei­se erfüllt. Ins­be­son­de­re zeigt die Vola­ti­li­ty Smile/Skew, dass die impli­zi­te Vola­ti­li­tät in der Rea­li­tät nicht kon­stant ist.

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Die Black-Scho­les-Glei­chung Schritt für Schritt her­ge­leitet, inklu­si­ve Del­ta-Hedging und Itô-Lem­ma.

Die Her­lei­tung ist im Kern ein No-Arbi­tra­ge-Argu­ment: Man kon­stru­iert aus Opti­on und Aktie ein kurz­fris­tig risi­ko­frei­es Port­fo­lio. Die­ses muss dann zum risi­ko­frei­en Zins­satz wach­sen.

1. Annah­me für den Akti­en­kurs

Black-Scho­les-Mer­ton nimmt an, dass der Akti­en­kurs $S_t$ einer geo­me­tri­schen Brown­schen Bewe­gung folgt:
$$dS = \mu S\,dt+\sigma S\,dW$$

mit

• $\mu$: erwar­te­te Ren­di­te der Aktie
• $\sigma$: Vola­ti­li­tät
• $dW$: zufäl­li­ge Brown­sche Bewe­gung
• $dt$: sehr klei­nes Zeit­in­ter­vall

Der ers­te Term$$\mu S\,dt$$

ist die erwar­te­te Kurs­be­we­gung. Der zwei­te
$$\sigma S\,dW$$

ist die zufäl­li­ge Kom­po­nen­te.

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2. Der Opti­ons­preis hängt von Aktie und Zeit ab

Sei$$V=V(S,t)$$

der Wert einer Opti­on.

Weil $S$ zufäl­lig schwankt, schwankt auch $V$. Um die­se Ände­rung kor­rekt zu bestim­men, reicht die nor­ma­le Dif­fe­ren­ti­al­rech­nung nicht aus. Man benö­tigt das Itô-Lem­ma.

Für $V(S,t)$ gilt:$$dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac12 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} (dS)^2.$$

Der unge­wöhn­li­che zwei­te Ablei­tungs­term ent­steht durch die sto­chas­ti­sche Bewe­gung des Akti­en­kur­ses.

Für die Brown­sche Bewe­gung gilt:
$$(dW)^2=dt.$$

Da$$dS=\mu Sdt+\sigma S dW,$$

folgt bis zur rele­van­ten Ord­nung:
$$(dS)^2=\sigma^2S^2dt.$$

Damit:$$dV= \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt.$$

Set­zen wir $dS$ ein:$$dV= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} \right)dt + \sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW.$$

Der letz­te Term$$\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dW$$

ent­hält das Zufalls­ri­si­ko.

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3. Wir bau­en ein Del­ta-hedged Port­fo­lio

Nun kon­stru­ie­ren wir ein Port­fo­lio:
$$\Pi=V-\Delta S.$$

Also:

• eine Opti­on hal­ten
• gleich­zei­tig $\Delta$ Akti­en leer­ver­kau­fen.

Die Ände­rung des Port­fo­li­os ist:
$$d\Pi=dV-\Delta dS.$$

Wir wäh­len$$\boxed{ \Delta=\frac{\partial V}{\partial S} }$$

Das ist das berühm­te Del­ta der Opti­on.

Damit:$$d\Pi = dV- \frac{\partial V}{\partial S}dS.$$

Set­zen wir die Itô-Glei­chung für $dV$ ein:
$$d\Pi= \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt - \frac{\partial V}{\partial S}dS.$$

Die bei­den $dS$-Ter­me heben sich auf:
$$d\Pi= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} \right)dt.$$

Und damit ist das Ent­schei­den­de pas­siert:$$\boxed{\text{Der Zufallsterm }dW\text{ ist verschwunden.}}$$

Das Port­fo­lio ist über die­ses infi­ni­te­si­mal klei­ne Zeit­in­ter­vall risi­ko­los.

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4. No-Arbi­tra­ge

Ein risi­ko­lo­ses Port­fo­lio muss die­sel­be Ren­di­te erzie­len wie eine risi­ko­lo­se Anla­ge.

Also:$$d\Pi=r\Pi\,dt.$$

Da$$\Pi=V-S\frac{\partial V}{\partial S},$$

gilt:$$d\Pi = r \left( V-S\frac{\partial V}{\partial S} \right)dt.$$

Ande­rer­seits hat­ten wir:$$d\Pi= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} \right)dt.$$

Gleich­set­zen ergibt:$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} = rV-rS\frac{\partial V}{\partial S}.$$

Alle Ter­me auf eine Sei­te:$$\boxed{ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac12\sigma^2S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV =0 }$$

Das ist die Black-Scho­les-Mer­ton-Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung.

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5. War­um ver­schwin­det $\mu$?

Das ist einer der wich­tigs­ten Punk­te.

Ursprüng­lich hat­ten wir für die Aktie:
$$dS=\mu Sdt+\sigma SdW.$$

Man könn­te daher erwar­ten, dass der Opti­ons­preis von der erwar­te­ten Akti­en­ren­di­te $\mu$ abhängt.

Tut er aber nicht.

Durch das Del­ta-Hedging wird das Akti­en­markt­ri­si­ko eli­mi­niert. Sobald das Port­fo­lio risi­ko­los ist, spielt die sub­jek­ti­ve oder tat­säch­li­che erwar­te­te Akti­en­ren­di­te kei­ne Rol­le mehr.

Des­halb taucht in der BSM-Glei­chung nicht $\mu$, son­dern nur der risi­ko­freie Zins­satz $r$ auf.

Das ist die Grund­la­ge der risi­ko­neu­tra­len Bewer­tung.

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6. Rand­be­din­gung eines Calls

Die Dif­fe­ren­ti­al­glei­chung allein bestimmt den Preis noch nicht. Wir brau­chen zusätz­lich die Aus­zah­lung am Ende der Lauf­zeit.

Für einen euro­päi­schen Call gilt zum Zeit­punkt $T$:$$V(S,T)=\max(S-K,0).$$

Also:$$C_T= \begin{cases} S_T-K,& S_T>K\\ 0,& S_T\leq K. \end{cases}$$

Löst man die Black-Scho­les-PDE mit die­ser Rand­be­din­gung, erhält man:$$\boxed{ C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2) }$$

mit$$d_1= \frac{ \ln(S_0/K) + \left(r+\frac12\sigma^2\right)T }{ \sigma\sqrt T }$$

und$$d_2=d_1-\sigma\sqrt T.$$

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7. Öko­no­mi­sche Inter­pre­ta­ti­on der bei­den Ter­me

Die For­mel$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$$

kann man intui­tiv lesen.

Der ers­te Term$$S_0N(d_1)$$

reprä­sen­tiert ver­ein­facht den Wert des Akti­en­an­teils, den man benö­tigt, um den Call zu repli­zie­ren.

Tat­säch­lich ist$$\boxed{\Delta=N(d_1)}$$

das Del­ta eines euro­päi­schen Calls im klas­si­schen Black-Scho­les-Modell.

Der zwei­te Term$$Ke^{-rT}N(d_2)$$

reprä­sen­tiert den abge­zins­ten Finan­zie­rungs­an­teil des repli­zie­ren­den Port­fo­li­os.

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8. Der gan­ze Gedan­ken­gang in einer Ket­te

Die Logik lässt sich auf sechs Schrit­te redu­zie­ren:$$\text{Aktienmodell}$$$$dS=\mu Sdt+\sigma SdW$$$$\Downarrow$$$$\text{Itô-Lemma auf }V(S,t)$$$$\Downarrow$$$$\text{Portfolio } \Pi=V-\Delta S$$$$\Downarrow$$$$\Delta=\frac{\partial V}{\partial S}$$$$\Downarrow$$$$\text{Zufallsrisiko verschwindet}$$$$\Downarrow$$$$d\Pi=r\Pi dt$$$$\Downarrow$$$$\boxed{ V_t+\frac12\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0 }$$

Der tiefs­te Gedan­ke hin­ter Black-Scho­les ist daher nicht die kom­pli­zier­te For­mel für $d_1$ und $d_2$, son­dern:$$\boxed{\text{Option}=\text{dynamisch replizierbares Portfolio}}$$

und damit$$\boxed{\text{No Arbitrage} \Rightarrow \text{eindeutiger Optionspreis}.}$$

Ein beson­ders sinn­vol­ler nächs­ter Schritt ist, ein kom­plet­tes Zah­len­bei­spiel mit S=100S=100, K=100K=100, σ=20%\sigma=20\%, r=5%r=5\% durch­zu­rech­nen und dabei $d_1$, $d_2$, Call­preis, Del­ta, Gam­ma, The­ta und Vega kon­kret aus­zu­rech­nen.

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